Question

7．已知角α的终边经过一点P（1，4$\sqrt{3}$），cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$．
（1）求tanα+tan2α的值；（2）求β．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义求出sinα 和cosα、tanα 的值，进而可求tan2α，从而得解．
（2）先求范围α-β∈（0，$\frac{π}{2}$），利用同角三角函数基本关系式可求sin（α-β），利用两角差的余弦函数公式可求cosβ=cos[（α-β）-α]的值，即可得解β．

解答 解：（1）∵角α的终边过点P（1，4$\sqrt{3}$），故有 r=|OP|=7，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{1}{7}$，
tanα=4$\sqrt{3}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$．
∴tanα+tan2α=4$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$=$\frac{180\sqrt{3}}{47}$．
（2）∵cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$．
∴α-β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（α-β）=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α-β）-α]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=$\frac{13}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{3\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{121}{98}$．
∴β=arccos$\frac{121}{98}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．