Question

【题目】曲线.给出下列结论:

①曲线关于原点对称;

②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;

③曲线只经过个整点(即横纵坐标均为整数的点).

其中,所有正确结论的序号是( )

A.①②B.②C.②③D.③

Answer 1

【答案】C

【解析】

将代入，化简后可确定①的真假性.对分成等种情况进行分类讨论，得出，由此判断曲线上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.

①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误.

②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且

，

所以.

综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.

③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确.

综上所述，正确的为②③.

故选：C