Question

9．设f（x）=a+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在R上是单调减函数；
（3）设直线y=$\frac{1-k}{1+k}$（k∈R且为常数）与函数f（x）的图象有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，求出a的值；
（2）利用导数，证明f（x）在R上是单调减函数；
（3）求出f（x）=-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$∈（-1，1），利用直线y=$\frac{1-k}{1+k}$（k∈R且为常数）与函数f（x）的图象有交点，求k的取值范围．

解答 （1）解：∵f（x）=a+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$（a∈R）是奇函数，
∴f（0）=a+1=0，
∴a=-1；
（2）证明：∵f（x）=-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-2{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在R上是单调减函数；
（3）解：f（x）=-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$∈（-1，1），
∵直线y=$\frac{1-k}{1+k}$（k∈R且为常数）与函数f（x）的图象有交点，
∴-1＜$\frac{1-k}{1+k}$＜1，
∴k＞0．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．