Question

已知函数f（x）=-3x²+3，定义数列{a_n}满足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=

-3f(an)+9

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n+1=

-3(-3an2+3)+9

=3a_n，由此能求出an=3n．
（Ⅱ）由b_n=

1

an

=

1

3n

，利用等比数列前n项和公式能证明Sn=

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=-3x²+3，数列{a_n}满足a₁=3，
且a_n＞0，a_n+1=

-3f(an)+9

，
∴a_n+1=

-3(-3an2+3)+9

=3a_n，
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an=3n．
（Ⅱ）证明：∵b_n=

1

an

=

1

3n

，
∴S_n=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]，
∴Sn=

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明，解题时要注意等比数列的性质的灵活运用．