Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F是椭圆的左焦点，A、B是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的动点，其中
|PF|的最小值是2-

2

，△PFA的面积最大值是

2

-1．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于D、E两点，又点M（4，3），记直线MD、ME的斜率分别为k₁，k₂，当k₁•k₂最大时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由|PF|的最小值是2-

2

，可得a-c=2-

2

．由△PFA的面积最大值是

2

-1．可得

1

2

(a-c)•b=

2

-1，及b²=a²-c²联立即可解出．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），与椭圆方程联立可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k₁•k₂=

5

6

+

6k-1

18k2+12

，当k≤

1

6

时，k₁•k₂≤

5

6

．当k＞

1

6

时，k₁•k₂=

5

6

+

1

3(k- 1 6 + 25 36 k- 1 6 + 1 3 )

，利用基本不等式的性质即可得出最大值．当直线l的斜率不存在时，把x=1代入椭圆的方程可得

1

4

+

y2

2

=1，解得y=±

6

2

．利用斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵|PF|的最小值是2-

2

，∴a-c=2-

2

，
∵△PFA的面积最大值是

2

-1．
∴

1

2

(a-c)•b=

2

-1，
∴

2- 2

2

•b=

2

-1，解得b=

2

．
联立

a-c=2- 2 ( 2 )2=a2-c2

，解得

a=2 c= 2

．
∴该椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
联立

y=k(x-1) x2+2y2=4

，化为（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

．
k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

9-3(y1+y2)+y1y2

16-4(x1+x2)+x1x2

=

9-3k(x1+x2-2)+k2(x1x2-(x1+x2)+1)

16-4(x1+x2)+x1x2

=

9-3k( 4k2 1+2k2 -2)+k2( 2k2-4 1+2k2 - 4k2 1+2k2 +1)

16- 16k2 1+2k2 + 2k2-4 1+2k2

=

5k2+2k+3

4+6k2

=

5

6

+

6k-1

18k2+12

，
当k≤

1

6

时，k₁•k₂≤

5

6

．
当k＞

1

6

时，∴k₁•k₂=

5

6

+

1

3(k- 1 6 + 25 36 k- 1 6 + 1 3 )

≤

5

6

+

1

3( 5 3 + 1 3 )

=1，当且仅当k=1时取等号，
∴此时k₁•k₂取得最大值1．
当直线l的斜率不存在时，把x=1代入椭圆的方程可得

1

4

+

y2

2

=1，解得y=±

6

2

．
∴k₁•k₂=

3- 6 2

4-1

×

3+ 6 2

4-1

=

5

6

．
综上可得：当且仅当k=1时，k₁•k₂取得最大值1，此时k=1，直线l的方程为：y=x-1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．