Question

已知以点C (t, )（t∈R），t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y= –2x+4与圆C交于点M，N若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）若t＞0，当圆C的半径最小时，圆C上至少有三个不同的点到直线l：y –的距离为，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）∵圆C过原点O,∴OC²=t²+ 则圆C的方程为
令x=0,得y₁=0,y₂=；令y=0得x₁=0,x₂=2t,即A(2t,0) B(0, )
∴S_△OAB=OA×OB=||×|2t|=4．……4分
即△OAB的面积为定值
（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分线段MN．
∵K_MN =" –" 2     ∴K_OC=
∴ 解得t=2或t = –2．
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）半径OC=，此时圆心到直线y= –2x+4的距离d=，即圆C与直线y= –2x+4相交于两点。  
当t=-2时,圆心C的坐标为（–2，–1）半径OC=
此时圆心到直线y= –2x+4的距离d=>, 即圆C与直线y= –2x+4不相交，
∴t= –2不合题意，舍去．∴圆C的方程为(x –2)²+(y –1)²=5．……9分
(3)半径OC=．当且仅当t=时取等号 ∵t>0 ∴t=．
此时圆心坐标为C（）半径为2．
若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y – =k(x –3 –)的距离为．
则圆心C到直线的距离d≤．即： 所以– ．

略