Question

已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?
(Ⅲ) 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：

Answer 1

（Ⅰ）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是的中位线，且,所以
所以，故…………2分
在中，
即,又,解得
所求椭圆的方程为．………………………4分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得椭圆:
设直线的方程为并代入
整理得:
由得:  ……………………5分
设
则由中点坐标公式得:…………………6分
①当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;………7分
②当时,则,直线的方程为
此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;
若直线过椭圆的顶点,则即
所以,解得:(舍去)………………………8分
若直线过椭圆的顶点,则即
所以,解得:(舍去) ……………9分
综上,当或或时, 直线过椭圆的顶点…………10分
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为……………………………11分
根据题意可设，则
则直线的方程为…①
过点且与垂直的直线方程为…②
①②并整理得：
又在椭圆上，所以所以
即①、②两直线的交点在椭圆上,所以．…………14分
法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为
根据题意可设，则，，
所以直线
，化简得
所以
因为,所以,则……………12分
所以，则,即

略