Question

12．设x，y∈R，且x²+xy+y²=1，求x²-xy+y²的取值范围．

Answer 1

分析 对等式x²+xy+y²=1进行配方换元，结合三角函数进行求解，即可得到所求范围．

解答 解：x²+xy+y²=1，即（x+$\frac{1}{2}y$）²+$\frac{3}{4}$y²=1，
则令x+$\frac{1}{2}$y=cosθ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=sinθ，
y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，x=cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ，
x²-xy+y²的=x²+xy+y²-2xy=1-2xy=1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinθ（cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ）
=1-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin2θ-$\frac{4}{3}$sin²θ）=1-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin2θ-$\frac{2-2cos2θ}{3}$）
=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$sin2θ+cos2θ）
=$\frac{5}{3}$-$\frac{4}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{3}$，3]．
故x²-xy+y²的取值范围是[$\frac{1}{3}$，3]．

点评 本题考查重要不等式的运用：求范围，注意运用换元法，考查运算求解能力，属于中档题．