Question

2．已知f（x）=$\frac{2a\sqrt{x}}{x+2}$在区间[0，2]上是增函数．
（1）求实数a的值所组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=$\frac{x+1}{\sqrt{x}}$的两根为x₁，x₂，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm-2≤|x₁-x₂|对满足（1）的值，即a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$在区间[0，2]上是减函数，可得a＞0，进而得到A；
（2）运用韦达定理，可得|x₁-x₂|的最小值，再由一次函数g（t）=m²+tm-2，在[-1，1]恒成立，可得g（-1）≤0，且g（1）≤0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2a\sqrt{x}}{x+2}$=$\frac{2a}{\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}$在区间[0，2]上是增函数，
y=$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$在区间[0，2]上是减函数，
∴a＞0．
故实数a的值所组成的集合A为{a|a＞0}；
（2）方程f（x）=$\frac{x+1}{\sqrt{x}}$即为x²+（3-2a）x+2=0，
即有△=（3-2a）²-8≥0，即为x₁+x₂=2a-3，x₁x₂=2，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（3-2a）^{2}-8}$的最小值为0，此时a=$\frac{3}{2}$±$\sqrt{2}$，
假设存在实数m，使得不等式m²+tm-2≤|x₁-x₂|对满足（1）的值，
即a∈A及t∈[-1，1]恒成立．
则有m²+tm-2≤0，令g（t）=m²+tm-2，
则g（-1）≤0，且g（1）≤0，
即为m²-m-2≤0且m²+m-2≤0，
即有-1≤m≤2且-2≤m≤1，
解得-1≤m≤1．
故存在实数m，且m的范围是[-1，1]．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查不等式恒成立问题的解法，以及一次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．