Question

20．已知正数x，y满足（1+2x）（1+y）=2，则2xy+$\frac{1}{2xy}$的最小值为6．

Answer 1

分析 由基本不等式可得（$\sqrt{2xy}$）²+2$\sqrt{2xy}$-1≤0，由二次不等式可得0＜2xy≤3-2$\sqrt{2}$，令t=2xy，则2xy+$\frac{1}{2xy}$=t+$\frac{1}{t}$在（0，3-2$\sqrt{2}$]递减，即可得到最小值．

解答 解：（1+2x）（1+y）=2，即为
2xy+2x+y=1≥2xy+2$\sqrt{2xy}$，
即有（$\sqrt{2xy}$）²+2$\sqrt{2xy}$-1≤0，
解得0＜$\sqrt{2xy}$≤$\sqrt{2}$-1，
即有0＜2xy≤3-2$\sqrt{2}$，
令t=2xy，则2xy+$\frac{1}{2xy}$=t+$\frac{1}{t}$在（0，3-2$\sqrt{2}$]递减，
即有t=3-2$\sqrt{2}$处取得最小值，且为3-2$\sqrt{2}$+3+2$\sqrt{2}$=6．
故答案为：6．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．