Question

7．解关于x的不等式：（a-2）x²-2ax+a-1≥0．

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用判别式与不等式的解集的关系即可得出．

解答 解：当a=2时，不等式化为：4x≤1，解得$x≤\frac{1}{4}$，∴不等式的解集为{x|$x≤\frac{1}{4}$}．
当a≠2时，△=4a²-4（a-2）（a-1）=4（3a-2）．
当a＞2时，△＞0，（a-2）x²-2ax+a-1=0，解得x=$\frac{a±\sqrt{3a-2}}{a-2}$，∴不等式化为（a-2）$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≥0，即$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≥0，解得x≥$\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}$或x≤$\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}$，∴此时不等式的解集为$\{x|x≥\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}或x≤\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
当2＞a$＞\frac{2}{3}$时，△＞0，不等式化为（a-2）$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≥0，即$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≤0，解得$\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}$≤x≤$\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}$，∴此时不等式的解集为$\{x|\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}≤x≤\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
当a=$\frac{2}{3}$时，△=0，不等式化为（2x+1）²≤0，解得不等式的解集为$\{x|x=-\frac{1}{2}\}$．
当a＜$\frac{2}{3}$时，△＜0，不等式的解集为∅．
综上可得：当a=2时，不等式的解集为{x|$x≤\frac{1}{4}$}．
当a＞2时，不等式的解集为$\{x|x≥\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}或x≤\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
当2＞a$＞\frac{2}{3}$时，此时不等式的解集为$\{x|\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}≤x≤\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
当a=$\frac{2}{3}$时，不等式的解集为$\{x|x=-\frac{1}{2}\}$．
当a＜$\frac{2}{3}$时，不等式的解集为∅．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．