题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求异面直线AB与PD所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明:平面平面PBD;
(Ⅲ)求直线DC与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)由,得
是异面直线AB与PD所成角
或所成角的补角
,利用余弦定理能求出异面直线AB与PD所成角的余弦值;(Ⅱ)由勾股定理得
,再由
,得
平面
,由此能证明平面
平面PBD;
(Ⅲ)由,得直线DC与平面PBD所成角即为AB与平面PBD所成角,过点A作
,交PD于点H,连结BH,推导出
是直线AB与平面PBD所成角,由此能求出直线DC与平面PBD所成角的正弦值。
解:(Ⅰ),
是异面直线AB与PD所成角
或所成角的补角
,
,
,
,
平面
取的中点
,连结
,则
为正方形,
,
,
中,
,
,
中,
,
.
异面直线AB与PD所成角的余弦值为
.
(Ⅱ)证明:中,
,
由勾股定理得,
又,
,
平面PAD,
又平面PBD,
平面
平面PBD.
(Ⅲ),
直线DC与平面PBD所成角即为AB与平面PBD所成角,
过点A作
,交PD于点H,连结BH,
由(Ⅱ)知平面平面
,平面
平面
,
又平面
,
平面
,
为斜线AB在平面PBD内的射影,
是直线AB与平面PBD所成角,
中,
,故
中,
,
直线DC与平面PBD所成角的正弦值为
.

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