题目内容
【题目】已知函数
，若曲线
上始终存在两点
，使得
，且
的中点在
轴上，则正实数
的取值范围为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】
假设曲线
上存在两点
满足题设要求,则点只能在
轴两侧，设
,根琚题意,可得
,且
斜边的中点在轴上，得到
的坐标，将是否存在两点满足题意等价转化成关于
的方程是否有解的问题，再对分类讨论，运用导数求解，即可得到结果.
假设曲线上存在两点满足题意，则点只能在轴两侧，
是以
为直角顶点的直角三角形，
，
不妨设
，
斜边的中点在轴上，
且
，
，
，①
曲线上始终存在两点使得
,等价于方程①有解,
(1)当
，即两点都在
上 ,
，
代入方程①，得
，
，
而此方程无实数解,
不符合题意,
（2）当
时，
在
上，在上，
，代入①得
，因为
为正数可化为
，设
，
，
，
递减，
，
时，
，
递减，
时，
，递增，
，
即
结合为正数，可得
，
的范围是
，故选C.
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