题目内容
【题目】已知函数,若曲线
上始终存在两点
,使得
,且
的中点在
轴上,则正实数
的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
假设曲线上存在两点
满足题设要求,则点
只能在
轴两侧,设
,根琚题意,可得
,且
斜边的中点在
轴上,得到
的坐标,将是否存在两点
满足题意等价转化成关于
的方程是否有解的问题,再对
分类讨论,运用导数求解,即可得到结果.
假设曲线上存在两点
满足题意,则点
只能在
轴两侧,
是以
为直角顶点的直角三角形,
,
不妨设,
斜边的中点在
轴上,
且
,
,
,①
曲线上始终存在两点
使得
,等价于方程①有解,
(1)当,即两点
都在
上 ,
,
代入方程①,得,
,
而此方程无实数解,不符合题意,
(2)当时,
在
上,
在
上,
,代入①得
,因为
为正数可化为
,设
,
,
,
递减,
,
时,
,
递减,
时,
,
递增,
,
即结合
为正数,可得
,
的范围是
,故选C.
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