题目内容
【题目】如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m
【解析】试题分析:本题是应用题,我们可用解析法来解决,为此以为原点,以向东,向北为坐标轴建立直角坐标系.(1)
点坐标炎
,
,因此要求
的长,就要求得
点坐标,已知
说明直线
斜率为
,这样直线
方程可立即写出,又
,故
斜率也能得出,这样
方程已知,两条直线的交点
的坐标随之而得;(2)实质就是圆半径最大,即线段
上哪个点到直线
的距离最大,为此设
,由
,圆半径
是圆心
到直线
的距离,而求它的最大值,要考虑条件古桥两端
和
到该圆上任一点的距离均不少于80
,列出不等式组,可求得
的范围,进而求得最大值.当然本题如果用解三角形的知识也可以解决.
试题解析:
(1)如图,以为
轴建立直角坐标系,则
,
,由题意
,直线
方程为
.又
,故直线
方程为
,由
,解得
,即
,所以
;
(2)设,即
,由(1)直线
的一般方程为
,圆
的半径为
,由题意要求
,由于
,因此
,∴
∴
,所以当
时,
取得最大值
,此时圆面积最大.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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