题目内容
1．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值；
（3）如果要求保护罩为正四棱柱形状，高规定为2米，当博物馆需支付的总费用不超过9.5千元时，求保护罩底面积的最大值．
分析 （1）由需要支付的总费用由两部分组成，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元，可求比例系数，从而可求支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）由（1）得：y=1000V+$\frac{16000}{V}$-500利用基本不等式可求出当且仅当1000V=$\frac{16000}{V}$，博物馆支付总费用的最小值；
（3）由题意得不等式：1000V+$\frac{16000}{V}$-500≤9500，V=2S，代入整理得：S2-5S+4≤0，即可求保护罩底面积的最大值．
解答 解：（1）依据题意，当保护罩体积等于V时，保险费用为$\frac{k}{V}$（其中k为比例系数，k＞0）
且当V=2时，$\frac{k}{V}$=8000，∴k=16000，…（2分）
∴y=1000（V-0.5）+$\frac{16000}{V}$=1000V+$\frac{16000}{V}$-500（V＞0.5）．（单位：元）…（6分）
（2）y=1000V+$\frac{16000}{V}$-500≥7500
当且仅当1000V=$\frac{16000}{V}$，即V=4立方米时不等式取得等号．
所以，博物馆支付总费用的最小值为750元． （10分）
（3）由题意得不等式：1000V+$\frac{16000}{V}$-500≤9500，V=2S，
代入整理得：S2-5S+4≤0，解得1≤S≤4． …（15分）
所以面正方形的面积最大可取4平方米． …（16分）
点评 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是构建函数，注意基本不等式的使用条件．
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