Question

13．已知双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 由题意可知：以MN为直径的圆过原点O，则OM⊥ON，则AF⊥BF，$\overrightarrow{AF}$=（2-x₀，-y₀），$\overrightarrow{BF}$=（2+x₀，y₀），由向量数量积的坐标表示求得x₀²+y₀²=4，由k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，代入即可求得x₀²=$\frac{7}{4}$，y₀²=$\frac{9}{7}$×$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，代入即可双曲线方程$\frac{7}{4{a}^{2}}$-$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，求得a²=1，则e=$\frac{c}{a}$=2．

解答 解：由题意可知：设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），由右焦点F（2，0），则c=2
∵以MN为直径的圆过原点O，
∴OM⊥ON，
又∵OM∥BF，ON∥AF，
∴AF⊥BF，
$\overrightarrow{AF}$=（2-x₀，-y₀），$\overrightarrow{BF}$=（2+x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=（2-x₀）（2+x₀）-y₀²，
∴4-x₀²-y₀²=0，
即x₀²+y₀²=4，
由k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴y₀²=$\frac{9}{7}$x₀²，
∴x₀²+$\frac{9}{7}$x₀²=4，
解得：x₀²=$\frac{7}{4}$，y₀²=$\frac{9}{7}$×$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，
代入双曲线方程得：$\frac{7}{4{a}^{2}}$-$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
∴7b²-9a²=4a²b²，由b²=c²-a²=4-a²，
∴7（4-a²）-9a²=4a²（4-a²），解得：a²=1或a²=7（舍），
∴a=1，
∴e=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何形状，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．