Question

16．设函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）
（1）若a=1，函数f（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，求实数c的取值范围；
（2）设a＞0，若f（x）＞-2cx+a对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数c的取值范围；
（3）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，如果有，请确定零点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），根据二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可；
（2）得到c＞-3ax²+2ax+a，令g（x）=-3ax²+2ax+a，a＞0，问题转化为即c＞g（x）_max，根据函数的单调性求出c的范围即可；
（3）求出二次函数的对称轴，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（ $\frac{a+c}{3a}$）＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．

解答 解：（1）将a=1代入f（x），得：f（x）=3x²-2（1+c）c+c，
由函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有1个零点且函数开口向上，
得：f（1）＜0，即3-2（1+c）+c＜0，解得：c＞1；
（2）由f（x）＞-2cx+a，将f（x）代入得：
3ax²-2（a+c）x+c＞-2cx+a，
故c＞-3ax²+2ax+a，
令g（x）=-3ax²+2ax+a，a＞0，
f（x）＞-2cx+a对任意x∈[1，+∞）恒成立，
即c＞g（x）_max，
g（x）=-3a${（x-\frac{1}{3}）}^{2}$+$\frac{4}{3}$a，
由g（x）在x∈[1，+∞）递减，g（x）max=g（1）=0，
∴c＞0，
故实数c的范围是（0，+∞）；
（3）二次函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c图象的对称轴是x=$\frac{a+c}{3a}$，
若f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（ $\frac{a+c}{3c}$）=-$\frac{{（a-c）}^{2}+ac}{3a}$＜0，
所以函数f（x）在区间（0，$\frac{a+c}{3a}$）和（ $\frac{a+c}{3a}$，1）内分别有一零点．
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；
若f（0）=c＜0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{{（a-c）}^{2}+ac}{3a}$＜0，
故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．