Question

若x、y为非零实数，代数式

x2

y2

+

y2

x2

-8（

x

y

+

y

x

）+15的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：令

x

y

+

y

x

=t，运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出范围，再求并集．

解答： 解：令

x

y

+

y

x

=t，则若xy＞0，则t≥2，若xy＜0，则t≤-2，
∴原式=t²-2-8t+15=t²-8t+13=（t-4）²-3，
当t≥2时，t=4时，原式取最小值为-3，无最大值，
当t≤-2时，原式取最小值，且为33，
∴原式的取值范围是[-3，+∞）．
故答案为：[-3，+∞）．

点评：本题考查换元法求二次函数的取值范围，注意新元的范围，运用基本不等式求范围．