Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1．
（1）假设b_n=a_n-1，求{b_n}的通项公式和前n项和S_n；
（2）设${c_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求{c_n}的前n项和T_n的取值范围．．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n-1，变形为a_n+1-1=2（a_n-1）．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：可得a_n=2ⁿ+1.${c_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=2$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$，利用“裂项求和方法”，及其数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n-1，变形为a_n+1-1=2（a_n-1）．∴b_n+1=2b_n．
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴b_n=2ⁿ．
前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1．
（2）由（1）可得：a_n-1=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ+1．
${c_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=2$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$，
∴{c_n}的前n项和T_n=2$[（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）]$
=2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$，
∴T₁≤T_n$＜\frac{2}{3}$．
∴$\frac{4}{15}≤{T_n}＜\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．