Question

【题目】函数，关于的方程恰有四个不同的实数解，则正数的取值范围为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先利用导数求出函数的单调区间和极值，令，由题意可知，方程有两个不同的实数根，，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在内，一个根在内，再令，因为，所以只需，由此即可求出的取值范围．

解：，

令得，或1，

当时，，函数在上单调递增，且，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以，，

令，

因为关于的方程恰有四个不同的实数解，

所以方程有两个不同的实数根，，且一个根在内，一个根在内，或者两个根都在内，或者一根为，另一根在内；

因为为正数，所以，，所以，都为正根，所以两个根不可能在内，也不可能一根为，另一根在内；

所以实数根，，且一个根在内，一个根在内，

令，因为，

所以只需，即，得，

即的取值范围为：.

故答案为：.