题目内容
【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求整数的最大值.
【答案】(1)见解析;(2) 的最大值为1.
【解析】
(1)根据的不同范围,判断导函数的符号,从而得到的单调性;(2)方法一:构造新函数,通过讨论的范围,判断单调性,从而确定结果;方法二:利用分离变量法,把问题变为,求解函数最小值得到结果.
(1)
当时, 在上递增;
当时,令,解得:
在上递减,在上递增;
当时, 在上递减
(2)由题意得:
即对于恒成立
方法一、令,则
当时, 在上递增,且,符合题意;
当时, 时,单调递增
则存在,使得,且在上递减,在上递增
由得:
又 整数的最大值为
另一方面,时,,
,
时成立
方法二、原不等式等价于:恒成立
令
令,则
在上递增,又,
存在,使得
且在上递减,在上递增
又,
又,整数的最大值为
练习册系列答案
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【题目】某大型电器企业,为了解组装车间职工的生活情况,从中随机抽取了名职工进行测试,得到频数分布表如下:
日组装个数 | ||||||
人数 | 6 | 12 | 34 | 30 | 10 | 8 |
(1)现从参与测试的日组装个数少于的职工中任意选取人,求至少有人日组装个数少于的概率;
(2)由频数分布表可以认为,此次测试得到的日组装个数服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).
(
(ii)为鼓励职工提高技能,企业决定对日组装个数超过的职工日工资增加元,若在组装车间所有职工中任意选取人,求这三人增加的日工资总额的期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.