Question

4．已知AB过⊙O的圆心，E为圆外的一点，ED为⊙O的一条切线，且D为切点，EA为⊙O的一条割线，且交⊙O于C，sin∠AED=1
（1）求证：AC∥OD；
（2）若5AC-3AB=0，证明：AF=$\frac{8}{5}$FD．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线的性质，即可证明AC∥OD；
（2）不妨设AC=3，AB=5，连接BC，则BC⊥AC，BC∥ED，求出ED，即可证明：AF=$\frac{8}{5}$FD．

解答 证明：（1）∵ED为⊙O的一条切线，且D为切点，
∴ED⊥OD，
∵sin∠AED=1，
∴ED⊥AE，
∴AC∥OD；
（2）不妨设AC=3，AB=5，连接BC，则BC⊥AC，BC∥ED，
∴四边形ECGD为矩形，CG=ED=2，
由切割线定理可得，ED²=EC•EA，
∴2²=ED•（ED+3），
∴ED=1，
∴AE=4，
∵AC∥OD，
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{AE}{OD}$=$\frac{8}{5}$，
∴AF=$\frac{8}{5}$FD．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．