Question

16．若y=sin²（x⁴），则$\frac{dy}{dx}$=4x³sin（2x⁴）；$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$=12x²sin（2x⁴）+32x⁶cos（2x⁴）；$\frac{dy}{d（{x}^{2}）}$=4x²sin（2x⁴）．

Answer 1

分析 y=sin²（x⁴）=$\frac{1-cos（2{x}^{4}）}{2}$，利用导数的于是法则可得y′=4x³sin（2x⁴），y^″=12x²sin（2x⁴）+32x⁶cos（2x⁴）．可得$\frac{dy}{dx}$，$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$．令x²=t，则y=$\frac{1-cos2{t}^{2}}{2}$，y′=4tsin（2t²）=4x²sin（2x⁴）．可得$\frac{dy}{d（{x}^{2}）}$=$\frac{dy}{dt}$．

解答 解：y=sin²（x⁴）=$\frac{1-cos（2{x}^{4}）}{2}$，
∴y′=$\frac{2×4{x}^{3}sin（2{x}^{4}）}{2}$=4x³sin（2x⁴），y^″=12x²sin（2x⁴）+32x⁶cos（2x⁴）．
∴$\frac{dy}{dx}$=4x³sin（2x⁴）；$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$=12x²sin（2x⁴）+32x⁶cos（2x⁴）．
令x²=t，则y=$\frac{1-cos2{t}^{2}}{2}$，y′=4tsin（2t²）=4x²sin（2x⁴）．
$\frac{dy}{d（{x}^{2}）}$=$\frac{dy}{dt}$=4tsin（2t²）=4x²sin（2x⁴）．
故答案为：4x³sin（2x⁴），12x²sin（2x⁴）+32x⁶cos（2x⁴），4x²sin（2x⁴）．

点评 本题考查了导数的运算法则、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．