Question

5．已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）求证：f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）解不等式f（log₂（2x+1））＞0；
（3）若f（x）＜m²-2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，然后作差，根据f（x）为奇函数，以及条件$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$，便可证明f（x₁）＜f（x₂），这便证出f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）可将原不等式变成f（log₂（2x+1））＞f（0），这样根据f（x）的定义域及在定义域上为增函数便可得到0＜log₂（2x+1）≤1，根据对数函数的单调性便可得出原不等式的解集；
（3）容易得出f（x）在[-1，1]上的最大值为1，从而可得到m²-2am＞0在a∈[-1，1]上恒成立，可设g（a）=-2ma+m²，从而需满足g（-1）＞0，且g（1）＞0，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{2m+{m}^{2}＞0}\\{-2m+{m}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）证明：设x₁，x₂∈[-1，1]，则-x₂∈[-1，1]；
∵f（x）为奇函数；
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}•（{x}_{1}-{x}_{2}）$；
由已知$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}＞0$，又x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）∵f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数；
∴f（0）=0；
∴由f（log₂（2x+1））＞0得，f（log₂（2x+1））＞f（0）；
∵f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤lo{g}_{2}（2x+1）≤1}\\{lo{g}_{2}（2x+1）＞0}\end{array}\right.$；
即0＜log₂（2x+1）≤1；
解得$0＜x≤\frac{1}{2}$；
∴原不等式的解集为$（0，\frac{1}{2}]$；
（3）∵f（1）=1，f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为1；
∴1＜m²-2am+1，即-2m•a+m²＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立；
设g（a）=-2m•a+m²，则g（-1）＞0，且g（1）＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+{m}^{2}＞0}\\{-2m+{m}^{2}＞0}\end{array}\right.$；
解得m＜-2，或m＞2；
∴实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，根据单调性求函数的最大值，关于函数恒成立问题的处理方法．