Question

9．若函数f（x）对任意实数x．y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2；
（1）求证：f（x）为奇函数：
（2）求证：f（x）是R上的减函数：
（3）求f（x）在[-3，4]上的最大值和最小值：
（4）解不等f（x-4）+f（2-x²）≤16．

Answer 1

分析 （1）先令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x）；
（2）直接运用函数单调性的定义和作差法证明；
（3）运用单调性求函数的最值；
（4）应用函数的奇偶性和单调性解不等式．

解答 解：（1）因为实数x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
再令y=-x得，f（0）=f（x）+f（-x），所以，f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+（x₂）]-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）
因为x₁-x₂＞0，所以f（x₁-x₂）＜0，
因此，f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）为R上的单调减函数；
（3）因为函数f（x）在R上单调递减，
所以，f（x）_min=f（4），f（x）_max=f（-3），
又因为f（1）=-2，所以f（4）=f（2）+f（2）=4f（1）=-8，
f（-3）=-f（3）=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6，
所以，函数在[-3，4]上的最大值为6，最小值为-8；
（4）因为f（8）=f（4）+f（4）=-16，所以，f（-8）=16，
所以，原不等式可化为：f[（x-4）+（2-x²）]≤f（-8），
即，（x-4）+（2-x²）≥-8，
即x²-x-6≤0，解得x∈[-2，3]，
即该不等式的解集为：[-2，3]．

点评 本题主要考查了抽象函数奇偶性，单调性的判断和证明，以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式，属于中档题．