下列说法:①扇形的周长为8cm.面积为4cm2.则扇形的圆心角弧度数为2rad,②函数f的最大值为$\sqrt{2}$,③若α是第三象限角.则$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值为0或-2,④若sinα=sinβ.则α与β的终� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．下列说法：
①扇形的周长为8cm，面积为4cm²，则扇形的圆心角弧度数为2rad；
②函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值为$\sqrt{2}$；
③若α是第三象限角，则$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值为0或-2；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
其中正确的是①．（写出所有正确答案）

分析 ①根据扇形的弧长和面积公式进行计算即可．
②根据三角函数的有界性进行判断．
③根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断．
④根据三角函数角终边之间的关系进行判断．

解答解：①设扇形的弧长为l，半径为r，则2r+l=8，$\frac{1}{2}$lr=4，
解得l=4，r=2，
∴扇形的圆心角的弧度数是：$\frac{4}{2}$=2；故①正确，
②函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sinx2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
则函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$+1，故②错误；
③若α是第三象限角，则$\frac{α}{2}$为第二或第四象限，
若$\frac{α}{2}$为第二象限，则$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}}$-$\frac{cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=1-1=0，
若$\frac{α}{2}$为第四象限，则$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$=-$\frac{sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=-1+1=0，
综上$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值为0；故③错误，
④若sinα=sinβ，则α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，则α与β的终边相同错误，故④错误；
故正确的命题是①，
故答案为：①．

点评本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，以及相应的公式，综合性较强，难度不大．