题目内容
10．已知函数f（x）=2（sinx+cosx）-sinxcosx-2（x∈R），则f（x）的最大值为$\frac{{4\sqrt{2}-5}}{2}$．分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，再利用二次函数的性质求得函数的最大值．
解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得t2=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
函数f（x）=2（sinx+cosx）-sinxcosx-2=2t-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$t2+2t-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t2-4t）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）2+$\frac{1}{2}$，
故当t=$\sqrt{2}$时，函数f（x）取得最大值为-$\frac{1}{2}$•${（\sqrt{2}-2）}^{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-5}{2}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}-5}{2}$．
点评 本题主要考查求三角函数的最值，用t表示函数的解析式，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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20．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
1．已知直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为-2，则l的方程为（ ）
| A． | 3x-2y-6=0 | B． | 2x-3y+6=0 | C． | 2x-3y-6=0 | D． | 3x-2y+6=0 |
2．△ABC的三边a，b，c成等差数列，则角B的范围是（ ）
| A． | $（{0，\frac{π}{3}}]$ | B． | $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$ | C． | $[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$ | D． | $（{0，\frac{π}{2}}）$ |
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