Question

16．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．

（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

Answer 1

分析 （1）作出BD在α内的射影，根据勾股定理求出D到平面α的距离，即可求出线面角的大小；
（2）使用$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$表示出$\overrightarrow{MN}$，即可证明$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$共面；
（3）对（2）中的结论两边平方，得出MN的长度表达式，根据θ的范围求出MN的最大值．

解答 解：（1）设D在α上的射影为H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面，
∴过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，∴DK=AH．
设DH=h，则（AC-h）²+AH²=CD²，①
∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②
将②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，
于是$sin∠DBH=\frac{1}{2}$，∴∠DBH=30°，即BD与α所成的是30°．
（2）解：∵$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$，
∴2$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$．
∴$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$共面．
∴一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行．
（3）由（2）得$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}$=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{BD}}^{2}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}×2{4}^{2}$+$\frac{1}{4}×2{4}^{2}$+$\frac{1}{2}×24×24$cos（$\frac{π}{2}-θ$）=288（1+sinθ）．
∴MN=$\sqrt{288（1+sinθ）}$=12$\sqrt{2+2sinθ}$．（θ∈[0，$\frac{π}{2}$））．
∴12$\sqrt{2}$≤MN＜24．
∴当MN大于或大于24米时一定够用．

点评 本题考查了线面垂直的性质，直线共面的判断，向量法在几何中的应用，属于中档题．