Question

8．如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造“绿地△ABD”，其中AB=a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长），现规划在△ABD内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，设种草的面积S₁与种花的面积S₂的比$\frac{S_1}{S_2}$为y．
（1）设角∠DAB=θ，将y表示成θ的函数关系；
（2）当BE为多长时，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；
（2）由于式子“y=$\frac{1}{2}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）≥1”括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答 解：（1）因为BD=atanθ，
所△ABD的面积为$\frac{1}{2}$a²tanθ（θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
设正方形BEFG的边长为t，则由$\frac{FG}{AB}=\frac{DG}{DB}$，
得$\frac{t}{a}$=$\frac{atanθ-t}{atanθ}$，
解得t=$\frac{atanθ}{1+tanθ}$，则S₂=$\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{（1+tanθ）^{2}}$
所以S₁=$\frac{1}{2}$a²tanθ-S₂，
所以$y=\frac{tanθ}{2}+\frac{1}{2tanθ}+1$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
（2）因为tanθ∈（0，+∞），所以y=$\frac{1}{2}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）≥1
当且仅当tanθ=1，时取等号，此时BE=$\frac{a}{2}$．
所以$BE=\frac{a}{2}$，y最小值为2．

点评 本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用基本不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．