Question

1．某单位决定投资3200元建仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两面墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．
（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，求函数y=f（x）的解析式．
（2）为使仓库总面积S达到最大，正面铁栅应设计为多长？并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）长为x米，宽为y米，则40x+90y+20xy=3200，可得函数y=f（x）的解析式；
（2）由40x+90y≥120$\sqrt{xy}$，得$\sqrt{xy}$的取值范围，即S=xy的取值范围；由40x=90y，且xy=100，解得x，y的值即可．

解答 解：（1）由题意，知：40x+2y×45+20xy=3200，
所以$f（x）=\frac{320-4x}{9+2x}（0＜x＜80）$
（2）因为40x+90y≥120$\sqrt{xy}$（当且仅当40x=90y时取“=”），
所以：3200≥120$\sqrt{xy}$+20xy，
所以，0＜$\sqrt{xy}$≤10；
所以，S=xy≤100．
当40x=90y时，S取最大值，又xy=100，
所以x=15，y=$\frac{20}{3}$，
所以，正面铁栅应设计为15米长，S的最大值为100平方米．

点评 本题考查了长方体模型的应用，在求面积S=xy最值时，利用基本不等式是关键．