Question

7．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n（n∈N^*），又等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₁+1，b₂+1，b₅-1成等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等式，可令n=1，求得a₁=1；当n≥2时，将n换为n-1，相减可得数列{a_n}的通项公式；再由等差数列{b_n}的公差设为d，运用等比数列的中项性质，解方程可得公差d，进而得到{b_n}的通项公式；
（2）求得a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n，①
可得n=1时，a₁=1；
当n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=n-1，②
①-②可得2^n-1a_n=1，
即有a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥2），
对n=1也成立，
则a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1（n∈N^*），
设等差数列{b_n}的公差为d，
b₁=a₁=1，b₁+1=2，b₂+1=2+d，b₅-1=4d，
b₁+1，b₂+1，b₅-1成等比数列成等比数列，
可得（2+d）²=8d，
解得d=2，
b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）；
（2）a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=1+3•（$\frac{1}{2}$）+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得$\frac{1}{2}$S_n=1+2[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+$\frac{2×\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即为S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．