Question

已知f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x+2的定义域是[0，4]．
（1）若f（x）的极值点是x=3，求a的值；
（2）若f（x）是单峰函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x+2，知f′（x）=x²-4ax+3a²，由f（x）的极值点是x=3，知f′（3）=9-12a+3a²=0，由此能求出a．
（2）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），结合f（x）是单峰函数，分类讨论，能够求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x+2，
∴f′（x）=x²-4ax+3a²，
∵f（x）的极值点是x=3，
∴f′（3）=9-12a+3a²=0，
解得a=1或a=3．
（2）∵f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
①当a=0时，f′（x）=x²≥0在[0，4]内恒成立，
故f（x）不是单峰函数，
故a=0不成立；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得f（x）的增区间为（-∞，3a），（a，+∞），
由f′（x）＜0，得f（x）的减区间为（3a，a）
∵f（x）在[0，4]内是单峰函数，
∴

0＜3a＜4 3a≥4

，或

0＜a＜4 3a≤0

，
无解．
③当a＞0时，由f′（x）＞0，得f（x）的增区间为（-∞，a），（3a，+∞），
由f′（x）＜0，得f（x）的减区间为（a，3a），
∵f（x）在[0，4]内是单峰函数，
∴

0＜a＜4 3a≥4

或

0＜3a＜4 a≤0

，
解得α∈[

4

3

，4)．
综上所述，a的取值范围是[

4

3

，4）．

点评：本题考查利用导数求函数在某点取得极值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．