Question

9．等比数列{a_n}满足：a₁=a（a＞0），${a_1}+1{，^{\;}}{a_2}+2{，^{\;}}{a_3}+3$成等比数列，若{a_n}唯一，则a的值等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设公比为q，由条件得：aq²-4aq+3a-1=0关于q∈R且q≠0有唯一解，由此能求出结果．

解答 解：设公比为q，
∵等比数列{a_n}满足：a₁=a（a＞0），${a_1}+1{，^{\;}}{a_2}+2{，^{\;}}{a_3}+3$成等比数列，
∴（aq+2）²=（a+1）（aq²+3），
整理，得：aq²-4aq+3a-1=0，
∵{a_n}唯一，∴由条件得：aq²-4aq+3a-1=0关于q∈R且q≠0有唯一解，
注意到a＞0，△=16a²-4a（3a-1）＞0恒成立，
∴3a-1=0，$a=\frac{1}{3}$（q=0为方程的增解）．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．