Question

我们给出如下定义：对函数，若存在常数（），对任意的，存在唯一的，使得，则称函数为“和谐函数”，称常数为函数的 “和谐数”.

（Ⅰ）判断函数是否为“和谐函数”？答：       . 是（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：           .

（Ⅱ）请先学习下面的证明方法：

证明：函数，为“和谐函数”，是其“和谐数”；

证明过程如下：对任意，令，即，

得.∵  ，∴.

即对任意，存在唯一的，使得 .

∴为“和谐函数”，其“和谐数”为.

参照上述证明过程证明：函数为“和谐函数”，是其“和谐数”；

[证明]：

（III）判断函数是否为和谐函数，并作出证明.

Answer 1

解： (1)是，C=2

（2）对任意，令，即，得，

.∵  ，∴  ，.

即对任意，存在唯一的，使得 .

∴ 为“和谐函数”，是其“和谐数”.

（3）对任意的常数，

ⅰ)若，则对于，显然不存在，使得成立，

所以不是函数的和谐数；-

ⅱ) 若，则对于，由得，，

即不存在，使成立.

所以也不是函数的和谐数.  

综上所述，函数不是“和谐函数”.

{或者借助唯一来否定也可，按步骤酌情给分。}