题目内容

7．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
（1）求证：B1D1∥平面A1BD；
（2）求证：MD⊥AC．

分析 （1）利用构造平行四边形方法证明BB1D1D是平行四边形，从而得到B1D1∥平面A1BD；
（2）利用线面垂直的定义来证明AC⊥平面BB1D，从而得到MD⊥AC．

解答 （1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，
又∵BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD．
而BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，
∴B1D1∥平面A1BD．
（2）证明∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB1⊥AC．
又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D．
而MD?平面BB1D，∴MD⊥AC．

点评 本题属于空间立体几何线面平行与判定的高考常考题型，考生应熟悉应用构造平行四边形法证明线面平行，熟悉应用相关线面垂直判定的知识点．

练习册系列答案
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A．-1B．-2C．-3D．1

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