Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n-a_n=

(an-1)2

4

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n=s_n-s_n-1（n≥2），两式作差即可求得通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n-a_n=

(an-1)2

4

．
∴4s_n=

a

2 n

+2a_n+1，
4s_n-1=

a

2 n-1

+2a_n-1+1（n≥2），
∴两式作差得a_n-a_n-1=2，又a₁=1，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（2n-1′），
∴T_n=2×1+2²×3+…+2ⁿ（2n-1），①
2T_n=2²×1+2³×3+…+2ⁿ⁺¹（2n-1），②
由②-①得，T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式的求法、数列和的求法错位相减法等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．