Question

14．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$．
（1）求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若斜率为1的直线l与顶点C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$，列出方程，求出点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|MN|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设C的坐标为（x，y），则
直线AC的斜率${k_{AC}}=\frac{y}{x+2}\;（x≠-2）$，
直线BC的斜率${k_{BC}}=\frac{y}{x-2}\;（x≠2）$，（2分）
由已知有$\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}（x≠±2）$，化简得顶点C的轨迹方程，$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（x≠±2）$．（5分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由题意$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$，解得5x²+8mx+4m²-4=0，（7分）
△=64m²-20（4m²-4）＞0，解得$-\sqrt{5}＜m＜\sqrt{5}$（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8}{5}m\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{5}\end{array}\right.$，$|MN|=\sqrt{（1+1）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$（10分）
代入解得m²=1，m=±1，
∴直线l的方程为y=x±1．（12分）

点评 本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．