Question

3．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{3{x^2}}}{25}-\frac{{3{y^2}}}{100}=1$
• B． $\frac{{3{x^2}}}{100}-\frac{{3{y^2}}}{25}=1$
• C． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后求解双曲线方程．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，
可得双曲线的渐近线方程为：x±2y=0，直线l：x+2y+5=0与x轴的交点为：（-5，0），
可得c=5，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，c²=a²+b²．解得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．