Question

20．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点，设AC中点为O．
（1）求证：平面EFO∥平面PAD
（2）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）连AC，设AC中点为O，连OF、OE，证明FO∥PA，EO∥BC，利用BC∥AD∴EO∥AD证明平面EFO∥平面PAD．（2）说明∠FEO为EF与平面ABCD所成的角的大小．利用△FOE是直角三角形推出结果．

解答 （12分）证明：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
（1）在△PAC中，∵F、O分别为PC、AC的中点
∴FO∥PA …①在△ABC中，
∵E、O分别为AB、AC的中点∴EO∥BC，又

∵BC∥AD∴EO∥AD …②
综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD                …..6′
（2）若∠PDA=45°?，则 PA=AD=BC，
∵EO$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，FO$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}PA$，
∴FO=EO 又∵FO⊥平面AC
∴∠FEO为EF与平面ABCD所成的角的大小．
∴△FOE是直角三角形，
∴?FEO=45°?…..12′．

点评 本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．