Question

18．已知数列{b_n}满足b_n=3b_n-1+2（n≥2），b₁=1．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=4a_n+2
（1）求证：{b_n+1}是等比数列并求出数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式．

Answer 1

分析 （1）数列{b_n}满足b_n=3b_n-1+2（n≥2），b₁=1．变形为：b_n+1=3（b_n-1+1），利用等比数列的定义通项公式即可得出．
（2）利用递推关系可得数列{a_n}是等比数列，利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{b_n}满足b_n=3b_n-1+2（n≥2），b₁=1．
∴b_n+1=3（b_n-1+1），∴数列{b_n+1}是等比数列，首项为2，公比为3，
∴b_n+1=2×3^n-1，即b_n=2×3^n-1-1．
（2）解：∵S_n=4a_n+2，∴n=1时，a₁=4a₁+2，解得a₁=$-\frac{2}{3}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n+2-（4a_n-1+2），化为：a_n=$\frac{3}{4}$a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为-$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{3}{4}$．
∴a_n=-$\frac{2}{3}$×$（\frac{3}{4}）^{n-1}$．
S_n=-4×$\frac{2}{3}$×$（\frac{3}{4}）^{n-1}$+2=-$2×（\frac{3}{4}）^{n-2}$+2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．