Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当且时，证明： .

Answer 1

（I）的取值范围为.（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（I）函数在上为增函数，则导数在上恒成立，即 在上恒成立.这只需即可.（Ⅱ）注意用第（I）题的结果.由（I）可得， ，从而得恒成立，（当且仅当时，等号成立），由此得，即.如何将这个这个不等式与待证不等式联系起来？在中，令，得.
由此得，即.这样叠加即可得：.
试题解析：（I）函数的定义域为.            1分
在上恒成立，即在上恒成立，  2分
∵  ∴，∴的取值范围为               4分
（Ⅱ）由（I）当，时，，又，
∴（当时，等号成立），即          5分
又当时，设，   
则∴在上递减，
∴，即在恒成立，
∴时， ①恒成立，（当且仅当时，等号成立），  7分
∴当时，，由①得，即   ..②.
当时，，，在中，令，得 .. ③.
∴由②③得，当时，，即.      10分
∴，
，
，

.
∴.                       12分
考点：1、导数的应用；2、不等式的证明.