题目内容
已知函数
（
为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若存在
使不等式
成立，求实数
的取值范围.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（Ⅲ）
解析试题分析：（Ⅰ）将
代入原函数求
，即得切点坐标，先将原函数求导再将代入导函数求
，根据导数的几何意义可知即为切线在点处切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求得切线方程。（Ⅱ）先求导数，及其零点，判断导数符号，即可得原函数增减区间。（Ⅲ）时可将变形为
，若存在使不等式成立，则只需
大于
在
上的最小值即可。即将不等式问题转化为求函数最值问题
试题解析：解：（Ⅰ）
. 1分
得
， 2分
所以曲线在点处的切线方程为. 3分
（Ⅱ）.
令
，即
，解得
. 5分
时，
，
时，
，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为. 7分
（Ⅲ）由题意知
使成立，即使
成立；8分
所以
9分
令
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
， 12分
所以. 13分
考点：1导数、导数的几何意义；2利用导数研究函数性质.
练习册系列答案
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＜ln
＜
，其中0＜a＜b；
＋ ＋
]≤1＋[lnn]（n∈N*）．
．
在
上为增函数，求实数
的取值范围；
且
时，证明： 
.
，且
是函数
的一个极小值点.
的值；
上的最大值和最小值.
.
时,求函数
的单调区间;
,且
,求证:
;
,对于任意
时,总存在
,使
成立,求实数
的取值范围.
．
在（0，+∞）内的极值；
，
，且
形成的平面区域的面积．
.
时，求函数
的单调区间；
上为减函数，求实数
的取值范围；
时，不等式
恒成立，求实数
（
为自然对数的底数）。
，求函数
的单调区间；
，使函数
上是单调增函数？若存在，求出
，又
，