Question

如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.

（Ⅰ）求关于的函数关系式？
（Ⅱ）求圆柱形罐子体积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析试题分析：方法一：（Ⅰ）在中，，将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱，则其底面周长为，设地面半径为，则，由柱体的体积公式，可知；（Ⅱ）利用换元法求解，令，则，对其求导可知函数在上单调递增，在上单调递减，可知当时，体积取得最大值.
方法二：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，则，利用勾股定理可得，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出V与x的关系，进而得到关于的函数关系式．
（2）利用（1）可知（），再对V求导得V′，得出其单调性，可知在上是增函数，在上是减函数，所以当时，有最大值．
试题解析：【解法1】：（1）
（2）令，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即当时，体积取得最大值.
【解法2】：（1）连接，在中，设，则
设圆柱底面半径为，则，即，
，其中.
（2）由，得;
由解得；由解得．
因此在上是增函数，在上是减函数．
所以当时，有最大值．
考点：1.导数在最大值、最小值问题中的应用；2.解三角形.