Question

【题目】设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为______．

Answer 1

【答案】.

【解析】

利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．

解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，

由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1＝0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1＝0的两个根，

由韦达定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，则

故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2）

（1+q3）（q+q2），

设t，则t2﹣2，

因为q∈[，2]，且t在[，1]上递减，在（1，2]上递增，

所以t∈[2，]，

则ab＝t2+t﹣2，

所以当t＝2时，ab取到最小值是4，

当t时，ab取到最大值是，

所以ab的取值范围是：．