Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点在椭圆上且位于第二象限，过点作直线，过点作直线，若直线的交点恰好也在椭圆上，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题设条件，列出的方程组，结合，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设，分和两种情况讨论，当时，联立的方程组，取得，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解

（1）由椭圆的上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为，

可得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，椭圆的方程，可得，，

设，则，.

当时，与相交于点不符合题意；

当时，直线的斜率为，直线的斜率为，

因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，

所以直线的方程为，直线的方程为，

联立和的方程，解得，，所以，

因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，可知，

所以或，

由方程组，解得，而方程组无解（舍去），

所以点的坐标为.