题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上.
（1）若
，点的坐标为
，求椭圆的方程；
（2）若点横坐标为
，点
为
中点，且
，求椭圆的离心率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意
，然后将
点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程；
（2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得
的中点M的坐标，再由
，可得a，c的关系式，从而求解离心率．
解：（1）设椭圆
焦距为
，则
，
所以
.①
又点
在椭圆：
上，所以
.②
联立①②解得
或
（舍去）.
所以椭圆的方程为；
（2）设椭圆焦距为，则
，
，
代入得
，
不妨设点在
轴上方，故点坐标为
，
又点
为中点，故点坐标为
，
所以
，
，
由
得，
即
，化简得
，
将
代入得
，即
，
所以
，解得
，
因为
，所以椭圆的离心率为.
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