Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用奇函数的定义进行判断，可得结论．
（2）由条件利用函数的单调性的定义进行证明，可得结论．
（3）由条件利用函数的单调性求得f（x）在[1，2]上的最值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定义域为R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）由于f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，设x₁＜x₂，则${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
根据f（x₁）-f（x₂）=[1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$]-[1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$]=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$ 
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}+1）-2{（2}^{{x}_{2}}+1）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）•{（2}^{{x}_{1}}+1）}$=$\frac{2•{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）•{（2}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在R上为增函数．
（3）在[1，2]上，函数f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为$\frac{1}{3}$，
当x=2时，函数f（x）取得最大值为$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的单调性的判断、证明、以及应用，属于中档题．