Question

已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．   
（1）当a=1，不等式f（x）＞m恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对任意x₁∈R，都有x₂∈R使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用绝对值不等式的性质，求出F（x）的最小值4，再由不等式恒成立的思想，即可得到m＜4；
（2）分别求得f（x）、g（x）的值域，再由值域的包含关系，得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|2x+3|=2（|x-

1

2

|+|x+

3

2

|），
由于|x-

1

2

|+|x+

3

2

|≥|（x-

1

2

）-（x+

3

2

）|=2，
当且仅当-

3

2

≤x≤

1

2

时，取得等号，
则f（x）的最小值为4．
不等式f（x）＞m恒成立，即为m＜4；
（2）函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥2|（x-

a

2

）-（x+

3

2

）|=|a+3|，
即有f（x）的值域为[|a+3|，+∞），
g（x）=|x-1|+2≥2，
则g（x）的值域为[2，+∞）．
若对任意x₁∈R，都有x₂∈R使f（x₁）=g（x₂）成立，
则[|a+3|，+∞）⊆[2，+∞），
即有|a+3|≥2，解得，a≥-1或a≤-5．
则实数a的取值范围是（-∞，-5]∪[-1，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法和性质，考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．