题目内容
【题目】已知
，
，
分别为
的中点，
，将
沿
折起，得到四棱锥
，
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）当正视图方向与向量
的方向相同时，此时的正视图的面积为
，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据题意可知
，由三线合一可证明
，进而由线面垂直的判定可证明
平面
；
（2）根据平面
平面
，所以
在平面
内的射影应该落在直线
上，所以点到平面的距离为
，进一步求出点到平面的距离，然后代入锥体体积公式计算即可.
解：（1）由平面图可知，
，
，
，
所以
平面，所以.
因为
为
的中点，
，∴.
因为
，所以平面.
（2）因为
的正视图与
全等，所以
，
∴
，∴
或
.
由（1）可知，平面平面，所以在平面内的射影应该落在直线
上，所以点到平面的距离为，
所以四棱锥的体积
.
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