Question

19．已知变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{y≥3x-6}\end{array}\right.$，若z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a=1或-3．

Answer 1

分析 由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数的斜率为正，最小值应在左上方边界AC上取到，即ax+y=0应与直线AC或BC平行，进而计算可得a值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{y≥3x-6}\end{array}\right.$对应的平面区域：
由题意，z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，最优解应在线段AC或BC上取到，故ax+y=0应与直线AC或BC平行，
∴-a=-1，或-a=3即a=1或a=-3．
故答案为：1或-3．

点评 本题考查线性规划最优解的判定，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解是解决本题的关键．